宜宾市第四中学校高 2011 级艺体班周考题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50。

　1．设 , { | 0}, { | 1} U R A x x B x x      ，则UA C B 等于

　B

　A． { |0 1} x x  

　 B． { |0 1} x x  

　 C． { | 0} x x 

　 D． { | 1} x x 

　2．复数14 3ii的虚部是 b

　A．125i

　B．125 C．125

　D．—125i

　3．命题“  x o ∈N，3ox ∈N”的否定是

　 （ d

　 ）

　A．  x o  N, 3ox ∈N

　B．  x o ∈N，3ox  N,

　C．  x o ∈N, 3ox ∈N

　D．  x o ∈N，3ox  N 4．已知平面向量 , | | 1,| | 2, a b a b a b   满足 与 的夹角为 60°，则“m=l”是“ ( ) a mb a   ”的 C

　A．充分不必要条件

　B．必要不充分条件

　C．充要条件

　D．既不充分也不必要条件 5. 已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为：C

　A.2

　B.4

　 C32

　 D . 34 6．己知对数函数 ( ) log a f x x  是增函数，则函数 (| | 1) f x  的图象大致是 B

　7．要得到函数 y=3cos（2x 一4）的图象，可以将函数 3sin2 y x  的图象 A

　A．沿 x 轴向左平移8个单位

　B．沿 x 向右平移8个单位

　C．沿 x 轴向左平移4个单位 D．沿 x 向右平移4个单位 8．设1F 、2F 分别是双曲线 C：2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 P，

　 使1| | | | OP OF  （O 为原点），且1 2| | 3| | PF PF  ，则双曲线的离心率为 C

　A．3 12

　 B． 3 1 

　C． 3 1 

　D．3 12 9.

　某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是 500 元/分钟和 200 元/分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是 B A．60 万元

　B．70 万元

　 C．80 万元

　 D．90 万元 10．设 l，m，n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是 C

　 ①若 , l l    则 与 相交

　 ②若 , , , , m n l m l n l         则

　③若 / / , / / , , l m m n l n     则

　 ④若 / / , , , / / l m m n l n     则

　 A．1

　B．2

　 C．3

　D．4 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．函数3log y x  的定义域为    , 1

　。

　12.已知sina+cosa=32，则 sin2a 的值为_____. 13.若直线(a+l)x+2y=0 与直线x—ay=1 互相垂直，则实数 a 的值等于______ 14．函数 y= sin（2x+4）3( [ , ])4 4x   的减区间是

　； 15.已知G为ΔABC的重心，ΔABC所在平面内一点P满足0 2 2   PC PB，则| || |AGAP的值等于_______. 三、解答题：共 6 小题，满分 75 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题共 12 分）

　设 ABC  的内角 A、B、C 所对应的边分别为 c b a , , ， 2 ,54cos   b B

　（1）当6 A 时，求 a 的值；（2）当 ABC  面积为 3 时，求 c a 的值

　 17．（本小题共 12 分）

　 在等比数列1 4{ } , 2, 16.na a a   中已知

　 （I）求数列 { }na 的通项公式；

　（II）若3 5, a a 分别为等差数列 { }nb 的第 3 项和第 5 项，试求数列 { }nb 的通项公式及前 n 项和 .nS

　18．（本小题共 12 分）

　已知函数2( ) 2sin cos 2 3cos 3, . f x x x x x R    

　 （I）求函数 f（x）的周期和最小值

　（II）在锐角△ABC 中，若 ( ) 1, 2 f A AB AC    ，求△ABC 的面积.

　19．（本小题共 12 分）

　已知四棱锥 P-ABCD 底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AD=2，AB=1，E，F 分别是线段 AB，BC 的中点．

　（I）证明：PF⊥FD；

　（II）在 PA 上找一点 G，使得 EG∥平面 PFD；

　 20．（本小题共 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=BC=12AB，E 是 BP 的中点。

　（I）求证：EC//平面 APD； （II）求 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值；

　21．（本小题共 14 分）

　已知函数3 21( ) ( )3f x x x ax a a R      。

　（I）当 3 a   时，求函数 ( ) f x 的极值；

　（II）若函数 ( ) f x 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的取值范围。

　 参考答案 1-5 BBDCC

　6-10 BACBC 11.    , 1

　12.95

　 13.1

　14. 85,8  15. 56 16

　 17.（Ⅰ）由3418aqa  得

　 2 q 

　 „„„文（2 分）

　 ∴ 12 2 2n nna  

　 „„„文（4 分）

　 （Ⅱ）

　3 1 35 1 52 84 32b b d ab b d a        ∴

　11612bd  

　 „„„文（8 分）

　∴ 16 ( 1)12 12 28nb n n     

　 „„„文（10 分）

　（文）

　21( 16 12 28) 6 222nS n n n n      

　„„„„文（12 分）

　18. 解：

　( ) sin2 3(1 cos2 ) 3 f x x x    

　＝ sin2 3cos2 x x  ＝ 2sin(2 )3x

　„„（2 分）

　（Ⅰ）

　22T   „（3 分）

　2 23 2x k     

　 即5212x x k    

　k∈Z 时 „（4 分）

　min( ) 2 f x 

　 „„（5 分）

　（Ⅱ）

　( ) 2sin(2 ) 13f A A  

　 ∴ 12sin(2 )3 2A 

　„„„（6 分）

　∴ 由 0 A   

　 得 ∴ 4A

　„„„（8 分）

　而 | | | | 2 AB AC AB AC COSA     

　 ∴ | | | | 2 AB AC  

　„„（10 分）

　∴ 1 2| | | |sin2 2ABCS AB AC A  

　„„„（12 分）

　19.解：（Ⅰ）证明：连接 AF，则 AF＝ 2，DF＝ 2， 又 AD＝2，∴DF 2 ＋AF 2 ＝AD 2 ，∴DF⊥AF．又 PA⊥平面 ABCD，∴DF⊥PA，又 PA∩AF＝A， .DF PAFDF PFPF PAF       平 面平 面

　„„„„„4 分（文科 6 分）

　（Ⅱ）过点 E 作 EH∥FD 交 AD 于点 H，则 EH∥平面 PFD 且 AH＝ 14 A D ．

　再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G，则 HG∥平面 PFD 且 AG＝ 14 AP， ∴平面 EHG∥平面 PF D． ∴EG∥平面 PF D ． 从而满足 AG＝ 14 AP 的点 G 为所求．„„„8 分（文科 12 分）

　20. Ⅰ) 如图，取 PA 的中点为 F，连结 EF、FD。

　∵

　E 是 BP 的中点,

　EF∥AB 且 EF＝21AB,

　又 ∵DC∥AB,

　 DC=21AB ∴ EF∥DC ，∴ 四边形 EFDC 是平行四边形，故得 EC∥FD. 又∵

　EC  平面 PAD,FD  平面 PAD, ∴

　EC∥平面 ADE

　(Ⅱ) 取 AD 中点 H，连结 PH，因为 PA＝PD，

　所以 PH⊥AD, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 于 AD,

　 ∴PH⊥面 ABCD

　 ∴HB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影， ∴∠PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角 ∵四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠BCD＝90°∴四边形 ABCD 是直角梯形, ∴DC＝CB＝21AB, 设 AB＝ a 2 ，则 BD＝ a 2

　在  ABD 中，易得∠DBA＝45°,

　AD＝ a 2 ，

　PH＝2 2DH PD ＝2 221a a  ＝ a22

　又 ∵ BD 2 +AD 2 ＝4 a ＝AB 2 ,

　 ∴  ABD 是等腰直角三角形，∠ADB＝90°,

　∴ HB＝2 2DB DH ＝2 2221a a  ＝ a210

　 ∴ 在 Rt  PHB 中，5521022tan    aaHBPHPBH

　 21. (Ⅰ) 当 3   a 时， x x x x f 331) (2 3   +3

　∴

　) 1 )( 3 ( 3 2 ) ( "2      x x x x x f

　令 0 ) ( "  x f ，得 11  x

　 32 x

　„„„(1 分)

　当 x ＜－1 时， ) ( " x f ＞0，则 ) (x f 在   1 ,   上单调递增；

　„„„(2 分)

　 当－1＜ x ＜3 时， ) ( " x f ＜0，则 ) (x f 在（－1，3）上单调递减；

　„„(3 分)

　当 x ＞3 时， ) ( " x f ＞0， ) (x f 在   , , 3  上单调递增；

　 „„(4 分)

　 ∴ 当 x ＝－1 时， ) (x f 取得极大值为3143 3 131) 1 (        f

　„(5 分)

　当 x ＝3 时， ) (x f 取得极小值为 6 3 9 9 2731) 3 (        f

　 „(6 分)

　(Ⅱ) ∵ a x x x f    2 ) ( "2

　 ∴

　) 1 ( 4 4 4 a a     

　1）若 1  a ，则 0   ，∴ 0 ) ( "  x f 在 R 上恒成立，∴ ) (x f 在 R 上单调递增。„„(7 分) ∵ ) 0 ( f ＝－ a ＜0， ) 3 ( f ＝2 a ＞0

　∴当 a ≥1 时， ) (x f 函数的图象与 x 轴有且只有一个交点。„（8 分）

　2）若 a ＜1，则 0  

　∴ 0 ) ( "  x f 有两个不相等的实数根，不妨设为1x 、2x （1x <2x ）

　∴1x +2x ＝2，1x ·2x ＝ a ，

　当 x 变化时， ) ( " x f ) (x f 的取值情况如下表：

　x

　 1,x  

　1x

　（1x ，2x ）

　2x

　  , ,2 x

　) ( " x f

　+ 0 － 0 +

　 ) (x f

　 极大值

　极小值

　∵ 221 x1x + a ＝0，

　∴

　a ＝－ 221 x1x

　„„„(9 分) ∴ a ax x x x f    12131 131) ( ＝   1213131ax x x 221 x1x

　 ＝131) 2 (31x a x   ＝ )] 2 ( 3 [3121 1  a x x

　„„„(10 分)

　 同理  ) (2x f )] 2 ( 3 [3122 2  a x x

　 „„„(11 分) ∴ ) (1x f · ) (2x f ＝ )] 2 ( 3 [9121 2 1  a x x x · )] 2 ( 3 [22  a x

　＝ ] ) 2 ( 9 ) )( 2 ( 3 ) )[( (912222122 1 2 1     a x x a x x x x

　 ＝  22 122 12) 2 ( 9 ] 2 ) )[( 2 ( 391      a x x x x a a a

　＝ ) 3 3 (942  a a a

　„„„„(12 分) 令 ) (1x f · ) (2x f ＞0，解得 a ＞0， 而当 1 0   a 时， ) 0 ( f ＝－ a ＜0， ) 3 ( f ＝2 a ＞0， 故当 1 0   a 时，函数 ) (x f 的图象与 x 轴有且只有一个交点。

　„„„(13 分)

　综上所述， a 的取值范围是   , , 0 

　 „„„ (14 分)