专题 15 角

　专题测试

　学校 :___________ 姓名：

　___________ 班级：

　___________ 考号：

　___________

　一、

　填空题（共 2 12 小题，每小题 4 4 分，共计 8 48 分）

　1．（2018·松滋市期末）如图，O 为直线 AB 上一点，∠AOC=α，∠BOC=β，则 β 的余角可表示为（

　）

　A．12（α+β）

　B．12α C．12（α﹣β）

　D．12β 【答案】C 【详解】由邻补角的定义，得 ∠α+∠β=180°， 两边都除以 2，得 12 （α+β）=90°， β 的余角是12 （α+β）-β=12 （α-β）， 故选 C． 2．（2018·定兴县期中）如图，点 C、O、B 在同一条直线上，∠AOB=90°，∠AOE=∠DOB，则下列结论：①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠COE=∠DOB；④∠COE+∠BOD=90°．其中正确的个数是（

　）

　A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】

　∵∠AOB=90°

　∴∠AOD+∠BOD=90°

　∵∠AOE=∠DOB

　 ∴∠AOE+∠AOD=90°，即∠EOD=90°

　∴∠COE=∠AOD，∠COE+∠BOD=90°

　∴①②④正确．

　故选 C． 3．（2018·婺源县期末）如图，点 O 在直线 DB 上，已知∠1=15°，∠AOC=90°，则∠2 的度数为（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】B 【详解】

　解：∵∠1=15°，∠AOC=90°，

　∴∠COB=75°，

　∴∠2=180°-∠COB=105°．

　故选：B． 4．（2018·松原市期末）如果∠α 和∠β 互余，则下列表示∠β 的补角的式子中：

　①180°-∠β，②90°+∠α，③2∠α+∠β，④2∠β+∠α，其中正确的有（

　）

　A． ①②③

　B． ①②③④

　C． ①②④

　D． ①②

　【答案】A 【详解】∵∠α 和∠β 互余，∴∠α+∠β=90°， ∴∠β=90°-∠α，∠α=90°-∠β， ∴∠β 的补角是 180°-∠β，故①正确； 180°-∠β=180°-（90°-α）=90°+α，故②正确；

　2∠α+∠β=2（90°-∠β）+∠β=180°-∠β，故③正确；

　2∠β+∠α=2（90°-∠α）+∠α=180°-∠α，故④错误， 故选 A． 5．（2018·峨山彝族自治县期末）∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD 平分∠AOB，OE 平分∠BOC，则∠DOE=（

　）

　 A．60° B．75° C．60°或 15° D．70°或 15° 【答案】C 【详解】

　解：如图 1，

　∵∠AOB=45°， ∴∠BOD=22.5°， ∵∠BOC=75°， ∴∠BOE=37.5°， ∴∠DOE=22.5°+37.5°=60°； 如图 2，

　∵∠AOB=45°， ∴∠BOD=22.5°， ∵∠BOC=75°， ∴∠BOE=37.5°， ∴∠DOE=37.5°-22.5°=15°． 故选：C． 6．（2019·铜陵市期末）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM ， FM 为折痕，C 点折叠后的 C 点落在 MB  的延长线上，则 EMF  的度数是（

　）

　A．85° B．90° C．95° D．100° 【答案】B 【详解】

　解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB,∠FMB′=∠FMC, ∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°, ∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°, ∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME, ∴∠EMF=90°,故选 B． 7．（2018·丹东市期末）一个角的余角比它的补角的12少 20°，则这个角为(

　) A．30° B．40° C．60° D．75° 【答案】B 【解析】

　设这个角为 α，则它的余角为 β=90°-∠α，补角 γ=为 180°-∠α，且 β=72-20° 即 90°-∠α=12（180°-∠α）-20° ∴2（90°-∠α+20°）=180°-∠α ∴180°-2∠α+40°=180°-∠α ∴∠α=40°． 故选：B． 8．（2018·深圳市期末）下午 2 点 30 分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（

　）

　A．90° B．105° C．120° D．135° 【答案】B 【解析】

　 下午 2 点 30 分时，时钟的分针与时针所成角的度数为：

　30°×4-30°× 12=120°-15°=105°. 故选 B. 9．（2017·高台县期中）如果一个角的补角是 ，那么这个角的余角的度数是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【答案】B 【解析】

　设这个角为 x 度，180-x=150,x=30,那么它的余角=90-x=60,故选 B. 10．（2018·路北区期末）如图，点 O 为直线 AB 上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2 的度数是（

　）

　A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【详解】

　∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°． ∴∠2＝180°−∠COD−∠1＝180°−90°−35°＝55°， 故选：C． 11．（2017·石家庄市期末）由下列四种说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补。其中正确的是（

　）

　A．①②

　B．①③

　C．①②③

　D．①②③④ 【答案】B 【解析】①锐角的补角一定是钝角；根据补角的定义和钝角的定义可判断其正确性，故此选项正确； ②一个角的补角一定大于这个角；当这个角为钝角时，它的补角小于 90°，故此选项错误； ③如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；利用同补角定义得出，此选项正确； ④中没有明确指出是什么角，故此选项错误． 故正确的有：①③，

　 故选：B． 12．（2017·凤翔县期末）如图，∠AOB=∠COD=90°，∠COB=58°，则∠DOA 的度数是（

　）

　A．102° B．112° C．122° D．142° 【答案】C 【详解】

　∵∠AOB=∠COD=90°，∠COB=58°， ∴∠BOD=∠COA=90°﹣58°=32°， ∴∠DOA=∠AOB+∠DOB=90°+32°=122°． 故选 C. 二、

　填空题（共 5 5 小题，每小题 4 4 分，共计 0 20 分）

　13．（2018·北仓区期末）上午 9 点钟的时候，时针和分针成直角，则下一次时针和分针成直角的时间是_____．

　【答案】9 时 32 分． 【分析】

　根据实际问题，时针转动速度为 （度/分钟），分钟转动速度为 =6（度/分钟），设再次转成直角的时间间隔为 x，可以列出方程，从而求解下一次时针与分针成直角的时间． 【详解】

　设再次转成直角的时间间隔为 x，则 （6﹣ ）x=90×2， （6﹣ ）x=180， ∴x=32 ．

　 ∴下一次时针与分针成直角的时间为 9 时 32 分， 故答案为：9 时 32 分． 14．（2018·惠州市期末）钟表在整点时，时针与分针的夹角会出现 5 种度数相等的情况，请分别写出它们的度数____. 【答案】30°，60°，90°，120°，150° 【解析】

　1 点整、11 点整时，时针与分针的夹角是 30°，2 点整、10 点整时，时针与分针的夹角是 60°，3 点整、9 点整时，时针与分针的夹角是 90°，4 点整、8 点整时，时针与分针的夹角是 120°，5 点整、7 点整时，时针与分针的夹角是 150 度． 故答案为：30°，60°，90°，120°，150°． 【点睛】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．钟表表盘被分成 12 大格，每一大格又被分为 5 小格，故表盘共被分成 60 小格，每一小格所对角的度数为 6°，分针转动一圈，时间为 60 分钟，则时针转 1 大格，即时针转动 30°，也就是说，分针转动 360°时，时针才转动 30°，即分针每转动 1°，时针才转动（112）度，逆过来同理． 15．（2018·顺德区期末）直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分 BOD  ，OF 平分 COE  ，且 1  ：

　2 1   ：4，则 DOF  的度数是______．

　【答案】105° 【详解】

　OE 平分 BOD  ， 1 DOE   ， 1  ：

　2 1   ：4，  设1 x  ，则 DOE x   ， 2 4x  

　4 180 x x x     ，

　 解得：

　30 x ， 1 30 DOE   ， 180 60 120 BOC    ， OF 平分 C  ＯＦ ， OF   Ｅ ７５ ， 30 105 DOF     75． 故答案为：

　10５ . 16．（2018·姜堰区期末）中午 12 点 30 分时，钟面上时针和分针的夹角是_____度． 【答案】165° 【详解】

　如图，

　12 点半时，时针指向 1 和 12 中间，分针指向 6， 钟表 12 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为 30°，半个格是 15°， 因此 12 点半时，分针与时针的夹角正好是 30°×5+15°=165°． 17．（2019 滁州市期中）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD＝2：3，∠BOD＝_____度．

　【答案】36 【详解】

　解：∵∠EOC：∠EOD＝2：3， ∴∠EOC＝180°×23+2 ＝72°， ∵OA 平分∠EOC，

　 ∴∠AOC＝12 ∠EOC＝12×72°＝36°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°． 故答案为：36． 三、

　解答题（共 4 4 小题，每小题 8 8 分，共计 2 32 分）

　18．（2017·扬州市期末）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分 ， ， 图中 的余角是______ 把符合条件的角都填出来 ； 如果 ，那么根据______可得 ______度； 如果 ，求 和 的度数．

　【答案】（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26° 【解析】

　（1）根据互余两角和为 90°，结合图形找出即可； （2）从图形中可知∠AOC 和∠DOB 为对顶角，直接可求解； （3）根据角平分线可求∠AOD 的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解. 【解析】

　（1）图中∠AOF 的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）； （2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160 度； （3）∵OE 平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠1=64°， ∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°． 19．（2017·临淄区期中）(1)如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON 的度数； (2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON 的度数；

　 (3)如果(1)中∠BOC＝β(β 为锐角)，其他条件不变，求∠MON 的度数； (4)从(1)(2)(3)的结果中你能看出什么规律？

　【答案】（1）45°（2）2（3）45°（4）∠MON 的大小总等于∠AOB 的一半，与锐角∠BOC 的大小无关． 【解析】

　（1）先求出∠MOC 的度数：（90+30）÷2=60°，∠CON 的度数是：30÷2=15°，然后用∠MOC 的度数减去∠CON 的度数即可得出∠MON 的度数. （2）根据问题（1）的解题思路把∠AOB 的度数用字母 a 代替即可. （3）根据问题（1）的解题思路把∠BOC 的度数用字母  代替即可. （4）根据（1）（2）（3）的得数可知：∠MON 的度数是始终是∠AOB 的度数的一半》 解：(1)因为 OM 平分∠AOC， 所以∠MOC＝ ∠AOC. 又因为 ON 平分∠BOC， 所以∠NOC＝ ∠BOC. 所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ (∠AOC－∠BOC)＝ ∠AOB. 又因为∠AOB＝90°，所以∠MON＝45°. (2)当∠AOB＝α，其他条件不变时，∠MON＝ . (3)当∠BOC＝β，其他条件不变时，∠MON＝45°. (4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可知：∠MON 的大小总等于∠AOB 的一半，与锐角∠BOC 的大小无关． 20．（2019·雨花台区期末）如图，已知直线 AB 上一点 O，OC ⊥ AB ， OD ⊥ OE, 若 ∠ COE=15∠ BOD. （1）求∠COE, ∠BOD, ∠AOE 的度数.

　 （2）若 OF 平分∠BOE，求∠AOF 的度数.

　 【答案】（1）120°；（2）150° 【解析】

　试题分析：（1）由于∠COE=15∠BOD，可设∠COE=x，则∠BOD=5x，列出方程即可求出 x 的值，进而求出∠COE，∠BOD，∠AOE 的度数． （2）作出∠BOE 的角平分线后求出∠BOF 的度数即可求出∠AOF 的度数． 解：

　（1）∵∠COE=15∠BOD

　∴设∠COE=x,则∠BOD=5x

　∵OD⊥OE, ∴∠DOE=90°, ∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=5x-90° ∵OC⊥AB, ∴∠BOC=90°, ∴∠COE+∠BOE=90° ∴x+5x-90=90,

　x=30° ∴∠COE=30° ∴∠BOD=5x=150° ∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90+30=120° （2）作 OF 平分∠BOE

　∴∠BOF=12∠BOE

　∵∠BOE=90°-∠COE=60°, ∴∠BOF=30°

　∴∠AOF=180°-∠BOF=150° 21．（2018·惠州市期末）如图，点 O 是直线 AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC．

　 （1）如图（1），若∠AOC= ，求∠DOE 的度数； （2）如图（2），将∠COD 绕顶点 O 旋转，且保持射线 OC 在直线 AB 上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=2∠DOB． 【答案】（1）20°；（2）综上所述，当∠AOC 的度数是 60°或 108°时，∠COE=2∠DOB 【详解】

　（1）∵∠AOC=40°， ∴∠BOC=140°， 又∵OE 平分∠BOC， ∴∠COE= ×140°=70°， ∵∠COD=90°， ∴∠DOE=90°-70°=20°； （2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°-α， ∵OE 平分∠BOC， ∴∠COE= ×（180°-α）=90°- α， 分两种情况：

　当 OD 在直线 AB 上方时，∠BOD=90°-α，

　∵∠COE=2∠DOB， ∴90°- α=2（90°-α）， 解得 α=60°． 当 OD 在直线 AB 下方时，∠BOD=90°-（180°-α）=α-90°，

　∵∠COE=2∠DOB， ∴90°- α=2（α-90°）， 解得 α=108°． 综上所述，当∠AOC 的度数是 60°或 108°时，∠COE=2∠DOB．