椭圆专题复习 ★知识梳理★ 1. 椭圆定义：

　（1）第一定义：平面内与两个定点2 1F F、 的距离之和为常数 |) | 2 ( 22 2 FF a a  的动点 P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点2 1F F、 叫椭圆的焦点. 当2 1 2 12 F F a PF PF    时, P 的轨迹为椭圆 ;

　;

　当2 1 2 12 F F a PF PF    时, P 的轨迹不存在;

　当2 1 2 12 F F a PF PF    时, P 的轨迹为 以2 1F F、 为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( 1 0  e )的点的轨迹为椭圆 （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

　 2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程 ) 0 ( 12222    b abyax ) 0 ( 12222    b abxay

　性

　质 参数关系 2 2 2c b a  

　焦点 ) 0 , ( ), 0 , ( c c 

　) , 0 ( ), , 0 ( c c 

　焦距 c 2

　范围 b y a x   | | , | |

　b x a y   | | , | |

　顶点 ) , 0 ( ), , 0 ( ), 0 , ( ), 0 , ( b b a a  

　) 0 , ( ), 0 , ( ), , 0 ( ), , 0 ( b b a a  

　对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 离心率 ) 1 , 0 (  ace

　准线 cax2 

　cay2 

　考点 1

　椭圆定义及标准方程

　 题型 1: 椭圆定义的运用

　[例 1 ] (湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能

　O

　x

　y

　D P

　A

　B C Q

　 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1) A C A   ,此时小球经过的路程为 2(a－c); (2) A B D B A     , 此时小球经过的路程为 2(a+c); (3) A Q B P A     此时小球经过的路程为 4a,故选 D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】

　1.短轴长为 5 ，离心率32 e 的椭圆两焦点为 F 1 ，F 2 ，过 F 1 作直线交椭圆于 A、B 两点，则△ABF 2 的周长为 （

　）

　A.3

　 B.6

　 C.12

　 D.24 [解析]C.

　长半轴 a=3，△ABF 2 的周长为 4a=12 2. 已 知 P 为 椭 圆2 2125 16x y  上 的 一 点 ， , M N 分 别 为 圆2 2( 3) 1 x y    和 圆2 2( 3) 4 x y    上的点，则 PM PN  的最小值为（

　）

　A． 5

　B． 7

　C ．13

　D． 15

　[解析]B.

　两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点， 10 | | | |    PD PC ， PM PN  的最小值为10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程

　[例 2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 2 4 －4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数 c b a , , 的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为 12222 byax或 ) 0 ( 12222    b aaybx， 则   2 2 2) 1 2 ( 4c b ac ac b， 解之得：

　2 4  a ，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为 116 322 2 y x或 132 162 2 y x. 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 c b a , , 的数量关系． ［警示］易漏焦点在 y 轴上的情况． 【新题导练】

　3. 如果方程 x2 + ky 2 =2 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是____________. [解析](0,1).

　椭圆方程化为22x+ky22=1. 焦点在 y 轴上，则k2>2，即 k <1. 又 k >0，∴0< k <1.

　4.已知方程 ) , 0 ( , 1 sin cos2 2       y x ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当 )4, 0 (  时，   cos sin  ，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆， 当4  时，   cos sin  ，方程表示圆心在原点的圆， 当 )2,4(   时，   cos sin  ，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3 ，求这个椭圆方程. [解析]  c ac a2333 2ca， 3  b ，所求方程为122x+92y=1 或92x+122y=1. 考点 2 椭圆的几何性质

　题型 1: 求椭圆的离心率（或范围）

　[例 3 ] 在 ABC △ 中， 3 , 2 | | , 30 0    ABCS AB A ．若以 A B ， 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率 e 

　．

　【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3 sin | | | |21  A AC AB SABC， 3 2 | |   AC ， 2 cos | | | | 2 | | | | | |2 2     A AC AB AC AB BC

　21 32 3 22| | | || | BC ACABe

　【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出 c b a 、 、 的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）

　（3）“焦点三角形”应给予足够关注 【新题导练】

　6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为

　 A .45

　B .23

　C .22

　 D .21

　 [解析]选 B

　7.已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 12 2 nymx的离心率为

　[解析]由  02 22 2mnn m nn m n42nm，椭圆 12 2 nymx的离心率为22 题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

　[例 4 ] 已知实数 y x, 满足 12 42 2 y x,求 x y x  2 2的最大值与最小值 【解题思路】

　把 x y x  2 2看作 x 的函数

　[解析] 由 12 42 2 y x得2 2212 x y   , 2 2 02122       x x

　] 2 , 2 [ ,23) 1 (212212 2 2 2           x x x x x y x

　当 1  x 时, x y x  2 2取得最小值23,当 2   x 时, x y x  2 2取得最大值 6 【新题导练】

　9.已知点 B A, 是椭圆2 22 21x ym n  （ 0 m ， 0 n  ）上两点,且 BO AO   ,则  =

　[解析] 由 BO AO   知点 B O A , , 共线,因椭圆关于原点对称, 1    

　10.如图，把椭圆2 2125 16x y  的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1 2 3 4 5 6 7, , , , , , P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点 则1 2 3 4 5 6 7PF PF PF PF PF PF PF        ________________ ［解析］由椭圆的对称性知：35 25 3 6 2 7 1       a F P F P F P F P F P F P

　． 考点 3 椭圆的最值问题 [例 5 ]椭圆 19 162 2 y x上的点到直线 l: 0 9   y x 的距离的最小值为___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

　[解析]在椭圆上任取一点 P,设 P(   sin 3 , cos 4 ). 那么点 P 到直线 l 的距离为：

　| 9 ) sin( 5 |221 1| 12 sin 3 cos 4 |2 2     . 2 2 

　【名师指引】也可以直接设点 ) , ( y x P ，用 x 表示 y 后，把动点到直线的距离表示为 x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】

　11.椭圆 19 162 2 y x的内接矩形的面积的最大值为

　[解析]设内接矩形的一个顶点为 ) sin 3 , cos 4 (   ， 矩形的面积 24 2 sin 24 cos sin 48       S

　12. P 是椭圆 12222 byax上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求 | | | |2 1PF PF  的最大值与最小值 [解析] ] , [ | | , ) | (| |) | 2 ( | | | | | |12 21 1 1 2 1c a c a PF a a PF PF a PF PF PF          

　当 a PF  | |1时， | | | |2 1PF PF  取得最大值2a ， 当 c a PF   | |1时， | | | |2 1PF PF  取得最小值2b

　13.已知点 P 是椭圆 1422  yx上的在第一象限内的点，又 ) 0 , 2 ( A 、 ) 1 , 0 ( B ， O 是原点，则四边形 OAPB 的面积的最大值是_________． [解析] 设 )2, 0 ( ), sin , cos 2 (    P ，则  cos 221sin21      OB OA S S SOPB OPA OAPB2 cos sin     

　考点 4 椭圆的综合应用 题型：

　椭圆与向量、解三角形的交汇问题

　[例 6 ] 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为   0,1 ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与 y 轴交于点 P（0，m），与椭圆 C 交于相异两点 A 、 B，且 PB AP 3  ． （1）求椭圆方程； （2）求 m 的取值范围． 【解题思路】通过 PB AP 3  ，沟通 A、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于 m 的不等式 [解析]（1）由题意可知椭圆 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，可设2 22 2: 1( 0)y xC a ba b   

　由条件知 1 a  且 b c  ，又有2 2 2a b c   ，解得 21 ,2a b c   

　故椭圆 C 的离心率为22cea  ，其标准方程为：

　12122 xy

　 （2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）

　  y＝kx＋m2x 2 ＋y 2 ＝1 得（k 2 ＋2）x 2 ＋2kmx＋（m 2 －1）＝0 Δ＝（2km）

　2 －4（k 2 ＋2）（m 2 －1）＝4（k 2 －2m 2 ＋2）>0 （*）

　x 1 ＋x 2 ＝ －2kmk 2 ＋2， x 1 x 2 ＝ m2 －1k 2 ＋2

　∵ AP ＝3 PB ∴－x 1 ＝3x 2

　∴  x 1 ＋x 2 ＝－2x 2x 1 x 2 ＝－3x 2 2 消去 x 2 ，得 3（x 1 ＋x 2 ）

　2 ＋4x 1 x 2 ＝0，∴3（ －2kmk 2 ＋2）

　2 ＋4 m2 －1k 2 ＋2 ＝0 整理得 4k 2 m 2 ＋2m 2 －k 2 －2＝0

　m 2 ＝ 14 时，上式不成立；m2 ≠ 14 时，k2 ＝ 2－2m24m 2 －1 ， 因 λ＝3 ∴k≠0 ∴k 2 ＝ 2－2m24m 2 －1 >0，∴－1<m<－12

　或 12 <m<1 容易验证 k 2 >2m 2 －2 成立，所以（*）成立 即所求 m 的取值范围为（－1，－ 12 ）∪（12 ，1）

　 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】

　14.设过点   y x P , 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点，点 Q 与点 P关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若 PA BP 2  ，且 1   AB OQ ，则 P 点的轨迹方程是

　（

　 ）

　 A.   0 , 0 1 3232 2    y x y x

　B.   0 , 0 1 3232 2    y x y x

　C.   0 , 0 12332 2    y x y x

　D.   0 , 0 12332 2    y x y x

　[解析] ) , ( ), 3 ,23( y x OQ y x AB     1 3232 2   y x ，选 A. 15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线

　E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。

　（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；

　（2）设直线 l 的斜率为 k，若∠MBN 为钝角，求 k 的取值范围。

　解：（1）以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则 A（－1，0），B（1，0）

　由题设可得 2 222 322)22( 222| | | | | | | |2 2         CB CA PB PA

　∴动点 P 的轨迹方程为 ) 0 ( 12222    b abyax， 则 1 . 1 , 22 2     c a b c a

　∴曲线 E 方程为 1222  yx （2）直线 MN 的方程为 ) , ( ), , , ( ), , ( ), 1 (2 2 1 1 1 1y x N y x M y x M x k y 设 设  

　由 0 ) 1 ( 2 4 ) 2 1 (0 2 2) 1 (2 2 2 22 2       k x k x ky xx k y得

　0 8 82    k 

　∴方程有两个不等的实数根 222 1222 12 1) 1 ( 2,2 24xkkx xkkx    

　) , 1 ( ), , 1 (2 2 1 1y x BN y x BM     

　) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 (1 122 1 2 1 2 1           x x k x x y y x x BN BM

　22 122 121 ) )( 1 ( ) 1 ( k x x k x x k       

　2222222222 11 71 )2 14)( 1 (2 1) 1 ( 2) 1 (kkkkkkkkk     

　∵∠MBN 是钝角 0    BN BM

　即 02 11 722kk

　解得：7777   k

　又 M、B、N 三点不共线 0  k

　综上所述，k 的取值范围是 )77, 0 ( ) 0 ,77(  

　基础巩固训练 1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与 BF 交于 D,且901 BDB ,则椭圆的离心率为(

　)

　A 21 3 

　 B 21 5 

　 C 21 5 

　 D

　23 [解析] B .

　         e ac c acbab2 21 ) (21 5  2. 设 F 1 、F 2 为椭圆42x+y 2 =1 的两焦点，P 在椭圆上，当△F 1 PF 2 面积为 1 时，2 1PF PF  的值为 A、0

　B、1

　C、2

　D、3 [解析] A .

　1 | | 32 1  P PF Fy S  ，  P 的纵坐标为33 ，从而 P 的坐标为)33,36 2(   ，  2 1PF PF 0，

　3.椭圆2 2136 9x y  的一条弦被 (4,2) A 平分,那么这条弦所在的直线方程是

　A． 2 0 x y  

　 B． 2 10 0 x y   

　C． 2 2 0 x y   

　D． 2 8 0 x y   

　[解析] D.

　19 362121 y x, 19 362222 y x,两式相减得：

　0 ) ( 42 12 12 1 2 1  x xy yy y x x ，4 , 82 1 2 1    y y x x  ，212 12 1 x xy y 4.在 ABC △ 中， 90 A   ，3tan4B  ．若以 A B ， 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率 e 

　 ． [解析]    BC ACABe k BC k AC k AB , 5 , 3 , 412 5. 已知2 1 ,FF 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 3 : 2 : 1 : :2 1 1 2 2 1    PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为 _________.

　[解析] 1 3 

　 [三角形三边的比是 2 : 3 : 1 ]

　6.在平面直角坐标系中，椭圆2 22 2x ya b  1( a b   0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a 为半径的圆，过点2,0ac   作圆的两切线互相垂直，则离心率 e =

　． [解析]    e aca2222 综合提高训练 7、已知椭圆 ) 0 ( 12222    b abyax与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率23 e ．求椭圆方程 [ [ 解析] ] 直线 l 的方程为：

　121   x y

　由已知2 22 2423b aab a  

　①

　由   12112222x ybyax

　得：

　0 )41(2 2 2 2 2 2 2     b a a x a x a b

　 ∴ 0 ) )( 4 (2 2 2 2 2 4      b a a a b a ，即2 24 4 b a  

　 ②

　由①②得：2122 2  b a ，

　故椭圆 E 方程为 12122 2 y x 8. 已知 A、B 分别是椭圆 12222 byax的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P22, 1 ( ）在椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。

　（1）求椭圆的标准方程；

　（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求sin sinsinA BC的值。

　[解析]（1）∵点 M 是线段 PB 的中点

　 ∴ OM 是△ PAB 的中位线 又 AB OM  ∴ AB PA

　 ∴2 2 22 22 2 211 11 2, 1, 12ca b ca ba b c       解得

　∴椭圆的标准方程为222yx =1

　（2）∵点 C 在椭圆上，A、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC＋BC＝2a＝ 2 2 ，AB＝2c＝2

　 在△ABC 中，由正弦定理，sin sin sinBC AC ABA B C 

　∴sin sinsinA BC＝2 222BC ACAB 

　 9.

　 已知长方形ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以AB的中点 O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A 、 B 为焦点，且过 C 、 D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

　[解析] (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为     1 , 2 , 0 , 2 , 0 , 2  . 设椭圆的标准方程是   0 12222    b abyax.          2 2 40 1 2 2 0 1 2 222222           BC AC a 则 2  a

　2 2 42 2 2      c a b .  椭圆的标准方程是 . 12 42 2 y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为   0 2    k kx y . 设 M,N 两点的坐标分别为     . , , ,2 2 1 1y x y x

　联立方程:  4 222 2y xkx y

　消去 y 整理得,   0 4 8 2 12 2    kx x k

　 有22 122 12 14,2 18kx xkkx x  

　O x

　y

　A B C D 图 8 B AC

　若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 ON OM  ,所以 02 1 2 1  y y x x , 所以,    0 2 22 1 2 1    kx kx x x , 即     0 4 2 12 1 2 12     x x k x x k

　所以, 0 42 1162 11 42222 kkkk 即 , 02 14 822kk 得 . 2 , 22   k k

　所以直线 l 的方程为 2 2   x y ,或 2 2    x y . 所以存在过 P(0,2)的直线 l : 2 2    x y 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.

　 参考例题：

　1、从椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    上一点 P 向 x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F , A 为椭圆的右顶点， B 是椭圆的上顶点,且 ( 0) AB OP     . ⑴、求该椭圆的离心率. ⑵、若该椭圆的准线方程是 2 5 x   ，求椭圆方程. [解析] ⑴、

　AB OP   ， AB  ∥ OP ，  △1PFO ∽△ BOA , 1 11PF FO c bcPFBO OA a a     ，

　又2 2112 2 2( , ) 1PF c bP c y PFa b a      ， b c   ,

　而2 2 2a b c  2 2222a c e     .

　 ⑵、 2 5 x   为准线方程，222 5 2 5aa cc    ,

　由2222 2 22 5105a cab cba b c       ．  所求椭圆方程为2 2110 5x y  ． 2、设2 1 ,FF 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上一点，若32 1  PF F ，证明：2 1 PFF  的面积只与椭圆的短轴长有关

　 [解析]由   3cos | || | 2 | | | | | |2 | | |2 122 122212 1PF PF F F PF PFa PF PF 得   | || | 4 | | | |4 |) | | (2 12 22212 22 1PF PF c PF PFa PF PF，2 2 22 14 ) ( 4 | || | 3 b c a PF PF     ，2 22 13334| || |2 1b S b PF PFPF F   ，命题得证